Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er en matematisk disciplin, der omhandler beregning af sandsynligheder ved et udfald. Sandsynlighedsregningen kan opfattes som det teoretiske modstykke til statistik som også arbejder med udfald og tilfældigheder men som, i modsætning til sandsynlighedsregning, har sit udgangspunkt i analyser af opsamlede data.

De to fag er ret tæt knyttet og deres udvikling bæres også langt hen ad vejen af de samme matematikere gennem tiden. Oprindelsen har knyttet sig til spil som det ses i f.eks. terningekast, hvor man eksempelvis kunne spørge "Hvad er chancen for at få en sekser?".

Historie

Sandsynlighedsregningen blev grundlagt i 1600-tallet af personer som Blaise Pascal og Pierre de Fermat som bl.a. tog sit udgangspunkt i problemstillinger i spilteori.

Faget tog flere skridt med matematikere som Jakob Bernoulli (kombinatorik) og Abraham de Moivre (spilteori), men fik dog for alvor form med Pierre-Simon Laplace som i 1812 udgav sin Théorie Analytique des Probabilités som på det tidspunkt var det hidtil største værk inden for statistik og sandsynlighedsregning. Laplace arbejdede bredt indenfor feltet og var en dominerende figur i den første halvdel af 1800-tallet.

Begreber

Basis for sandsynlighedsregningen er begrebet om udfald, $\omega$, som optræder tilfældigt. Til et udfald knyttes en sandsynlighed $P(\omega )$ i intervallet [0,1]. En sandsynlighed på 0 siger at udfaldet aldrig kan finde sted, og en sandsynlighed på 1 siger at udfaldet altid finder sted. Afbildningen $P$ kaldes et sandsynlighedsmål.

Formelt set er det dog ikke selve udfaldene man bestemmer sandsynligheden af, men derimod særlige mængder af udfald, kaldet hændelser. Den mindste hændelse er den tomme hændelse $\emptyset$, mens mængden $\Omega$ af samtlige udfald (kaldet udfaldsrummet) også er en hændelse. Når der er uendeligt mange udfald, kan det på grund af tekniske begrænsninger forekomme at visse mængder af udfald ikke er hændelser og derfor ikke kan tilskrives nogen sandsynlighed.

En reel afbildning $X:\Omega \to \mathbb {R}$ defineret på udfaldsrummet $\Omega$ kaldes en stokastisk variabel. Den knytter altså til ethvert udfald $\omega$ et bestemt tal $X(\omega )$. Urbilleder under $X$ som eksempelvis $\{X\leq 5\}$ bliver hændelser (teknisk set er denne målelighedsegenskab et ekstra krav til afbildningen $X$) som man kan bestemme sandsynligheden af. Så $P(X\leq 5)$ bliver herved en veldefineret sandsynlighed.

Alle de (sandsynlighedsmæssigt) "interessante" egenskaber ved den stokastiske varibel $X$ er indeholdt i en særlig funktion $F$ kaldet fordelingsfunktionen der er defineret ved

$F(x)=P(X\leq x)$ for alle $x\in \mathbb {R}$

For en særlig klasse af stokastiske variable kaldet absolut kontinuerte stokastiske variable kan man i stedet angive en tæthedsfunktion $f$ valgt således at fordelingen $F$ kan bestemmes ud fra $f$ ved

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$

For en anden type stokastiske variable (de diskrete) kan man angive en anden slags tæthed (hvor summation træder i stedet for integration). Der er dog også fordelinger der ikke kan beskrives ved en tæthed (og så må man gå tilbage til fordelingsfunktionen $F$).

Sandsynlighedsregning bliver i denne formalisme et specialtilfælde af den matematiske disciplin målteori.