Rod (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Rod.

I matematik er en rod af en funktion f et element x i funktionens definitionsmængde, hvorom der gælder, at

f(x) = 0.
Hvis funktionen afbilder de reelle tal i de reelle tal, er rødderne førstekoordinater til de punkter, hvor funktionens graf skærer x-aksen. Derfor kaldes rødder ofte for nulpunkter for funktionen.
Ordet rod kan også henvise til et tal på formen a1/n (hvilket er roden i polynomiet xn-a) såsom kvadratroden eller andre rødder.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Betragt polynomiet f : RR givet ved følgende formel:

f(x)=x^2-5x+6 \,

Tallet 3 er rod i polynomiet, idet f(3)=3^2-5\cdot3+6=0\, .

Rødder i polynomier[redigér | redigér wikikode]

Der er foretaget omfattende matematisk forskning for at finde rødder af forskellige funktioner; specielt polynomier.

Alle reelle polynomier af ulige grad har mindst et reelt tal som rod, hvorimod mange reelle polynomier af lige grad ikke har reelle rødder.

Hvis P betegner et polynomium, så er x=r rod i polynomiet netop hvis der findes en faktorisering P(x)=(x-r)\cdot Q(x), hvor Q er et polynomium af grad 1 lavere en graden af P. Kendskab til et polynomiums rødder giver dermed vigtig information om strukturen af et polynomium. En rod r siges at have multiplicitet m, dersom P kan skrives på formen P(x)=(x-r)^m\cdot Q(x). Algebraens fundamentalsætning siger, at ethvert polynomium af grad n har n komplekse rødder regnet med multipliciteter. Disse ikke-reelle rødder af reelle polynomier kommer i konjugerede par. De komplekse tal blev udviklet for at håndtere rødder af kvadratiske og kubiske ligninger med negative diskriminanter (det vil sige de, der fører til udtryk med kvadratrødder af negative tal.)

Den n'te rod[redigér | redigér wikikode]

Hvis x>0 og n er et naturligt tal defineres den n'te rod af x ved \sqrt[n]{x}=x^{1/n}. Den n'te rod er således en potensfunktion, der er den inverse funktion til funktionen f(x)=x^n. Den n'te rod er den positive løsning til ligningen t^n=x. Hvis n=2 taler man om kvadratrod og hvis n=3 taler man om kubikrod.

Den n'te rod af 0 er nul. Hvis n er et ulige tal og x<0, er -(-x)^{1/n} den entydigt bestemte løsning til ligningen t^n=x, så man definerer \sqrt[n]{x}=-(-x)^{1/n}.

Riemanns formodning[redigér | redigér wikikode]

Et af de vigtigste uløste problemer i matematikken omhandler placeringen af rødderne i Riemanns zetafunktion.


Se også[redigér | redigér wikikode]