Rod (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Rod.

I matematik er en rod af en funktion f et element x i funktionens definitionsmængde, hvorom der gælder, at

f(x) = 0.
Hvis funktionen afbilder de reelle tal i de reelle tal, er rødderne førstekoordinater til de punkter, hvor funktionens graf skærer x-aksen. Derfor kaldes rødder ofte for nulpunkter for funktionen.
Ordet rod kan også henvise til et tal på formen a1/n (hvilket er roden i polynomiet xn-a) såsom kvadratroden eller andre rødder.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Betragt polynomiet f : RR givet ved følgende formel:

Tallet 3 er rod i polynomiet, idet

Rødder i polynomier[redigér | redigér wikikode]

Der er foretaget omfattende matematisk forskning for at finde rødder af forskellige funktioner; specielt polynomier.

Alle reelle polynomier af ulige grad har mindst et reelt tal som rod, hvorimod mange reelle polynomier af lige grad ikke har reelle rødder.

Hvis P betegner et polynomium, så er x=r rod i polynomiet netop hvis der findes en faktorisering , hvor Q er et polynomium af grad 1 lavere en graden af P. Kendskab til et polynomiums rødder giver dermed vigtig information om strukturen af et polynomium. En rod r siges at have multiplicitet m, dersom P kan skrives på formen . Algebraens fundamentalsætning siger, at ethvert polynomium af grad n har n komplekse rødder regnet med multipliciteter. Disse ikke-reelle rødder af reelle polynomier kommer i konjugerede par. De komplekse tal blev udviklet for at håndtere rødder af anden- og tredjegradsligninger med negative diskriminanter (det vil sige de, der fører til udtryk med kvadratrødder af negative tal.)

Den n'te rod[redigér | redigér wikikode]

Hvis x>0 og n er et naturligt tal defineres den n'te rod af x ved . Den n'te rod er således en potensfunktion, der er den inverse funktion til funktionen . Den n'te rod er den positive løsning til ligningen . Hvis n=2 taler man om kvadratrod og hvis n=3 taler man om kubikrod.

Den n'te rod af 0 er nul. Hvis n er et ulige tal og x<0, er den entydigt bestemte løsning til ligningen , så man definerer .

Riemanns formodning[redigér | redigér wikikode]

Et af de vigtigste uløste problemer i matematikken omhandler placeringen af rødderne i Riemanns zetafunktion.


Se også[redigér | redigér wikikode]