Fjederpendul

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Fjederpendul.

Et fjerderpendul er en masse, der hænger i en fjeder, som svinger. Hver for sig giver en lille pendulsvingning og en oscillerende fjeder begge approksimativt simple harmoniske bevægelser, men kombinationen giver et mere kompliceret system. Et eksempel på et fjederpendul er, hvis en person hænger og svinger i en elastik i forbindelse med elastikspring.[1]

Modellering[redigér | redigér wikikode]

For at modellere pendulet kan det betragtes som et to-dimensionelt system med to frihedsgrader. Fjederen har hvilelængden og kan strækkes med størrelsen . Pendulets svingningsvinkel er . Problemet hører dermed under klassisk mekanik. I det nedenstående er Lagrange-formalismen anvendt, hvor en Lagrange først opstilles, hvorefter Euler-Lagrange-ligningerne kan bruges til at finde bevægelsesligningerne for systemet.

Lagrangen[redigér | redigér wikikode]

En model for fjederpendulet kan laves med udgangspunkt i systemets Lagrange :

hvor er den kinetiske energi, og er den potentielle energi.

Jf. Hookes lov er den potentielle energi i selve fjederen:

hvor er fjederkonstanten.

Den potentielle energi fra tyngdekraften er derimod bestemt af massens højde. For en given vinkel og udstrækning er den potentielle energi:

hvor er tyngdeaccelerationen.

Den kinetiske energi er givet ved:

hvor er massens fart. For at relatere til de andre variable, skrives farten som en kombination af en bevægelse langs med og vinkelret på fjederen:

Lagrangen bliver altså:[1]

Bevægelsesligningerne[redigér | redigér wikikode]

Simulation af fjederpendulet. Øverst til venstre er de polære koordinater.

Med to frihedsgrader - for og - kan bevægelsesligningerne findes vha. to Euler-Lagrange-ligninger:

For :[1]

isoleres:

Og for :[1]

isoleres:

Fjerderpendulet er nu beskrevet med to koblede differentialligninger. Disse kan løses numerisk.

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c d Xiao, Qisong; et al., Dynamics of the Elastic Pendulum (PDF), University of Arizona, s. 10–11, 14. 

Yderligere litteratur[redigér | redigér wikikode]

  • Pokorny, Pavel (2008). "Stability Condition for Vertical Oscillation of 3-dim Heavy Spring Elastic Pendulum". Regular and Chaotic Dynamics. 13 (3): 155–165. Bibcode:2008RCD....13..155P. doi:10.1134/S1560354708030027.  pdf or pdf
  • Pokorny, Pavel (2009). "Continuation of Periodic Solutions of Dissipative and Conservative Systems: Application to Elastic Pendulum". Mathematical Problems in Engineering. 2009: 1–15. doi:10.1155/2009/104547. 

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]