Røringscirkler: Forskelle mellem versioner

← Gå til forrige forskel Gå til næste forskel →

Content deleted Content added

Inline

Versionen fra 20. aug. 2016, 20:06

I geometrien er røringscirkler de cirkler som enten tangerer alle en trekants sider eller en af disse sider samt de to øvriges forlængelser. Alle trekanter har 4 røringscirkler: Én indskreven cirkel, som tangerer samtlige trekantens sider og 3 såkaldte ydre røringscirkler.

Den indskrevne cirkel

Uddybende artikel: Indskreven cirkel

Centrum for den indskrevne cirkel er det fælles skæringspunkt mellem trekantens 3 vinkelhalveringslinjer.

Radius for den indskrevne cirkel kan beregnes vha. formlen:

r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}

,

hvor $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

De ydre røringscirkler

Centrum for hver af de ydre røringscirkler kan findes som det fælles skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinjen for den vinkel i trekanten som ligger overfor trekantssiden som røringscirklen rører (rød i figuren), og de 2 vinkelhalveringslinjer for de suplementære nabovinkler til trekantens 2 øvrige vinkler (grønne i figuren).

Radiusserne for de ydre røringscirkler kan beregnes med formlen

r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}

hvor $r_{a}$ er radius i den ydre røringscirkel, som rører siden a, og $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

Radius kan også beregnes ud fra kendskab til trekantens vinkler og én side:

r_{a}=a\cdot {\frac {\cos {\frac {B}{2}}\cdot \cos {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}

Andre formler

Der gælder følgerne sammenhæmg mellem den indskreve cirkels radius r, den omskrevne cirkels radius R og de 3 ydre røringscirklers radiusser:

r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R,

Der er denne sammenhæng mellem røringscirklernes radiusser og trekantens areal $T$ :

T^{2}=r\cdot r_{a}\cdot r_{b}\cdot r_{c}

Litteratur

Jens Carstensen (1994). Trigonometri. systime. s. 50-55.. De anførte formler er taget herfra.

Eksterne henvisninger

Four Circles - Program til beregning af røringscirkler

@@ Linje 13: / Linje 13: @@
 == De ydre røringscirkler ==
+Centrum for hver af de ydre røringscirkler kan findes som det fælles skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinjen for den vinkel i trekanten som ligger overfor trekantssiden som røringscirklen rører (rød i figuren), og de 2 vinkelhalveringslinjer for de suplementære nabovinkler til trekantens 2 øvrige vinkler (grønne i figuren).
-Centrum (J<sub>A</sub>) for den ydre cirkel over for vinkel A befinder sig, hvor A's halveringslinje skærer de to grønne [[Normal (matematik)|normaler]] til hhv. vinkel B og C's halveringslinjer.
+[[Radius]]serne for de ydre røringscirkler kan beregnes med formlen
-Centrum (J<sub>B</sub>) for den ydre cirkel over for vinkel B befinder sig, hvor B's halveringslinje skærer de to grønne normaler til hhv. vinkel A og C's halveringslinjer.
-Centrum (J<sub>C</sub>) for den ydre cirkel over for vinkel C befinder sig, hvor C's halveringslinje skærer de to grønne normaler til hhv. vinkel A og B's halveringslinjer.
-[[Radius]]serne for de ydre røringscirkler kan beregnes som eksemplificeret her:
 :<math> r_a = \sqrt{ \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a} } </math>