Røringscirkler

En trekant med dens 4 røringscirkler: Den indskrevne cirkel er blå, og de 3 ydre røringscirkler er orange. Cirklernes centre (I, J_A,J_B,J_C) er også markeret.

I geometrien er røringscirkler de cirkler som enten tangerer alle en trekants sider eller en af disse sider samt de to øvriges forlængelser. Alle trekanter har 4 røringscirkler: Én indskreven cirkel, som tangerer samtlige trekantens sider og 3 såkaldte ydre røringscirkler.

Den indskrevne cirkel

Uddybende artikel: Indskreven cirkel

Centrum for den indskrevne cirkel er det fælles skæringspunkt mellem trekantens 3 vinkelhalveringslinjer.

Radius for den indskrevne cirkel kan beregnes vha. formlen:

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$,

hvor $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

De ydre røringscirkler

De ydre røringscirklers centre (JA, JB og JC) befinder sig, hvor de røde vinkelhalveringslinjers grønne normaler gennem trekantens toppunkter skærer hinanden. Se illustrationen øverst til højre, og bemærk, at nævnte normaler samtidig halverer topvinklernes nabovinkler og derfor let kan fastlægges ud fra disse vha. passer og lineal.

Radiusserne for de ydre røringscirkler kan beregnes med formlen

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$

hvor $r_{a}$ er radius i den ydre røringscirkel, som rører siden a, og $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

Radius kan også beregnes ud fra kendskab til trekantens vinkler og én side:

$r_{a}=a\cdot {\frac {\cos {\frac {B}{2}}\cdot \cos {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}$

Andre formler

Der gælder følgerne sammenhæng mellem den indskreve cirkels radius r, den omskrevne cirkels radius R og de 3 ydre røringscirklers radiusser:

$r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R,$

Der er denne sammenhæng mellem røringscirklernes radiusser og trekantens areal $T$:

$T^{2}=r\cdot r_{a}\cdot r_{b}\cdot r_{c}$

Litteratur

• Jens Carstensen (1994). Trigonometri. systime. s. 50-55.. De anførte formler er taget herfra.

Eksterne henvisninger

Four Circles - Program til beregning af røringscirkler