Kardinaltal

Kardinaltal eller tælletal er tal anvendt til at angive, hvor mange elementer der er i en given mængde.

Indenfor matematikken anvendes kardinaltal også i forbindelse med overtællelige mængder. Kardinaltal er indført i matematikken af Georg Cantor omkring 1900 i forbindelse med udviklingen af den moderne mængdelære.

Et tal, $\aleph _{n}$ er et kardinaltal, hvis der ikke findes en bijektiv afbildning fra nogen ægte delmængde af mængden på intervallet fra 0 til $\aleph _{n}$.

Ethvert tal som er element i en tællelig mængde er et kardinaltal, ligesom uendelig (forstået som grænseværdien for følgen $(i)_{i=1}^{\infty }$), der betegnes $\aleph _{0}$, er et kardinaltal. $\aleph _{0}$ er det første uendeligt store kardinaltal, de følgende benævnes $\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\omega },\ldots$. Cantor viste at der ikke findes et største kardinaltal ligesom der er væsentligt flere kardinaltal større end $\aleph _{0}$ end mindre end.

Cantor opstillede hypotesen at kardinaltallet til mængden af reelle tal$\mathbb {R} ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ følger lige efter det til de naturlige tal dvs at dennes kardinalitet skulle benævnes $\aleph _{1}$. Hypotesen er kendt som kontinuumhypotesen og er endnu uafgjort.

Kardinaltallene er velordnede.

Se også

• Kardinal - for andre betydninger.
• Ordinaltal