Logistisk funktion

fig. 1: Graf for logisitisk vækst er tegnet med rød. Her ses den S-formede graf tydeligt.

fig.2: Denne graf for logistisk vækst er symmetrisk omkring sit skæringspunkt med y-aksen.

fig. 3: Graf for eksponentielt voksende funktion og graf for logistisk vækst med sin øverste vandrette asymptote er tegnet i samme koordinatsystem. Logisitisk vækst stopper ved sit maksimum, som er markeret af den grønne, vandrette linje (asymptote til grafen for logisitisk vækst).

Logistisk vækst er en matematisk model for, hvordan en population af eksempelvis bakterier udvikler sig. Logistisk vækst anvendes også til at beskrive, hvordan et områdes indbyggere øges til et en maksimal øvre grænse. (Se den røde graf på fig. 1 - 4). Hver af de fire fig. viser noget karakteristisk for grafer for logistisk vækst.

Den logistiske vækst kan forstås som en eksponentielt voksende funktion med et maksimum, $M$. $M$ betegnes også bæreevnen. (Se fig. 3 og fig. 4). Den logistiske væksts graf er opstået ved at "klippe" den eksponentielle væksts graf i stykker og så spejlvende den nederste del af den eksponentielt voksende funktions graf.

Forskelle på eksponentiel vækst og logistisk vækst

Med eksponentiel vækst forstås en eksponentielt voksende funktion og dens graf.

• Grafen for eksponentiel vækst ikke er symmetrisk, mens grafen for logistisk vækst er symmetrisk. (Se især fig. 2).
• Eksponentiel vækst fortsætter i det uendelige; hvorimod logistisk vækst stopper ved sit maksimum. (Se fig. 3).

Differentialligningen

Matematisk er forskriften for logistisk vækst den ikke-trivielle løsning til differentialligningen:

${dy \over dx}=ay(M-y){\text{ , }}a\neq 0,M\neq 0$

Differentialligningen er et andengradspolynomium af $y$. Det ses ved at multiplicere ind i parentesen.

Variant af differentialligningen

Ved at udskifte $M$ og ved at erstatte ${dy \over dx}$ med $y'$ kan differentialligningen se sådan ud:

$y'=y(b-ay){\text{ , }}a\neq 0$

Forskrift for logistisk vækst

Differentialligningens ikke-trivielle løsning har forskriften:

$y={\frac {M}{1+c{\text{e}}^{-a\cdot M\cdot x}}}$

Variant af forskriften for logistisk vækst

I forskriften for logistisk vækst kan $M$ erstattes af en brøk, hvor der gælder:$\ a\neq 0$

$y={\frac {\frac {b}{a}}{1+c{\text{e}}^{-b\cdot x}}}$

Bemærk, at forskriftens nævner også ændres, når tælleren ændres.

Om bevis og andet

· Der kan føres bevis for, at forskriften for logistisk vækst er ovennævnte differentiallignings løsning.

· En anden mulighed for at bevise differentialligningens løsning er at anvende substitution: Man kan eksempelvis indføre følgende substitution: $y={1 \over u}$ som gælder, for $\ u\neq 0$

Derved kan man omdanne ovennævnte differentialligning til en første ordens lineær differentialligning, som kan løses ved metoden separation af de variable.

· For de viste grafer for logistisk vækst (fig. 1 - 4) gælder, at konstanten $c>0$

Grafers udseende

Af fig. 1 og fig. 2 fremgår det, at grafer for logistisk vækst kan variere, men der er tale om varianter af den samme skabelon. Grundlæggende har hver graf symmetri og to vandrette asymptoter. En grafs S-form kan være mere eller mindre tydelig: En graf kan være langstrakt (se fig. 2) eller klumpet sammen (se fig. 1).

S-form og symmetri

Grafen for logistisk vækst er en S-formet kurve (se fig. 1), som er symmetrisk (se fig. 2).

Grafen er symmetrisk omkring punktet $(x_{n},{M \over 2})$ og væksthastigheden er størst for $y={M \over 2}$

To vandrette asymptoter

fig. 4: Graf for logistisk vækst har to vandrette asymptoter.

Man ser, at grafen for logistisk vækst har to vandrette asymptoter:

• Den øverste asymptote er $y=M$ (se den grønne vandrette linje på fig. 4)
• Den nederste asymptote er $y=0$ (altså $x$-aksen, som er vandret.) Se den gule vandrette linje på fig. 4

Karakteristik af logistisk vækst

Man inddeler logistisk vækst i tre faser:

1. Den langsomt voksende start-fase, som er næsten vandret.
2. Den hurtigt voksende midt-fase, som er næsten lodret. (Det ses bedst på fig. 1)
3. Den langsomt voksende slut-fase, som er næsten vandret.

Dette eksempel tager udgangspunkt i bakterier, som vokser i laboratoriets petriskål:

1. I starten er der kun få bakterier, så de formerer sig kun langsomt. Dette ses på grafen ved at grafen er meget tæt på $x$-aksen (som markerer den nederste vandrette asymptote).
2. I midten af forløbet er der flere bakterier, så de kan formere sig hurtigere. Dette ses på grafen som det næsten lodrette stykke.
3. I slutningen af forløbet bliver mangel på plads og mangel på føde til problemer for bakteriernes vækst. Forurening er også et problem. Dette ses på grafen, ved at grafen er meget tæt på maksimum $M$ (som markerer den øverste vandrette asymptote).

For eksemplet med baktier er differentialligningen typisk: ${dn \over dt}=c\cdot n\cdot (M-n)$

hvor brøken ${dn \over dt}$ betegner bakteriernes væksthastighed. Væksthastigheden er proportional med differencen mellem maksimum $M$ og antallet af baktier $n$. Konstaten $c$ er proportionalitetsfaktor.

Differentialligningen, som beskriver bakteriernes vækst, har den ikke-trivielle løsning:

$n(t)={\frac {M}{1+k\cdot {\text{e}}^{-c\cdot M\cdot t}}}$

hvor $k$ er en konstant, som man kan beregne, hvis man kender de andre værdier, som forekommer i løsningsformlen.

Logistisk vækst kan bl.a. anvendes til at beskrive, hvordan

• en population af bakterier, mus eller andre dyr som formerer sig men typisk med forskellige væksthastigheder.
• et hvirveldyr vokser.
• et områdes indbyggertal udvikler sig over lang tid.

Kort sagt anvendes logistisk vækst i både biologi og demografi.

Ophavsmand

Den logistiske vækst blev introduceret af den belgiske matematiker Pierre François Verhulst (1804 - 1849) i perioden 1838 - 1847.

Logistisk regression

Logistisk regression er en type regression, som estimerer, hvor godt parametre passer med logistisk vækst.

Se også

• Differentialligning
• Separation af de variable
• Eksponentiel vækst
• Regression
• Matematisk model
• Asymptote
• Symmetri

Eksterne henvisninger

Bøger

• Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
• Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. ISBN 87-00-19936-2
• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2: integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5
• Touborg, Jens Peter (red.) (1995): Eksamensopgaver i matematik: gymnasiet: matematisk linje, højt niveau. Matematiklærerforeningen, København. ISBN 87-89229-76-2