E (tal): Forskelle mellem versioner
Inc (diskussion | bidrag) m →Eulers Identitet: wikify Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) stilret Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 4: | Linje 4: | ||
== Definitioner == |
== Definitioner == |
||
Der er forskellige definitioner for tallet e, men den mest grundlæggende er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen <math> |
Der er forskellige definitioner for tallet e, men den mest grundlæggende er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen <math> |
||
y=f(x)=e^x |
y=f(x)=\mathrm{e}^x |
||
</math> altid er lig med y. |
</math> altid er lig med y. |
||
<math>\mathrm{e}</math> er det eneste tal, for hvilket det gælder, at eksponentialfunktionen <math>\mathrm{e}^x</math> opfylder relationen |
|||
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x.</math> |
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x.</math> |
||
Desuden er |
Desuden er <math>\mathrm{e}</math> grundtallet for den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]], ofte skrevet i notationen <math>\ln (x)</math>; altså opfylder <math>\mathrm{e}</math> følgende: |
||
:<math> \ln(e)=\int_1^e \frac{1}{x} \mathrm{d}x = 1.</math> |
:<math> \ln(\mathrm{e})=\int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = 1.</math> |
||
Af konstruktive definitioner kan blandt mange nævnes |
Af konstruktive definitioner kan blandt mange nævnes |
||
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,</math> |
:<math>\mathrm{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,</math> |
||
:<math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} |
:<math>\mathrm{e} = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} |
||
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!} |
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!} |
||
+ {1 \over 4!} + \cdots + {1 \over n!} + \cdots</math> |
+ {1 \over 4!} + \cdots + {1 \over n!} + \cdots</math> |
||
Linje 22: | Linje 22: | ||
{{Uddybende|Eulers formel}} |
{{Uddybende|Eulers formel}} |
||
Ligheden |
Ligheden |
||
:<math>e^{\pi i}+1=0</math> |
:<math>\mathrm{e}^{\pi i}+1=0</math> |
||
er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Det er en Eulers identitet. |
er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Det er en Eulers identitet. |
||
== Notation == |
== Notation == |
||
Eksponentialfunktionen <math>e^x</math> skrives somme tider med funktionen exp: |
Eksponentialfunktionen <math>\mathrm{e}^x</math> skrives somme tider med funktionen exp: |
||
::<math>\exp(x)=e^x.</math> |
::<math>\exp(x)=\mathrm{e}^x.</math> |
||
Dette bruges især på [[computer]]e, for eksempel i [[programmeringssprog]] og [[regneark]], hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig. |
Dette bruges især på [[computer]]e, for eksempel i [[programmeringssprog]] og [[regneark]], hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig. |
||
Versionen fra 23. mar. 2020, 13:31
Tallet e (også kaldet Eulers tal, opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler) er et transcendent tal, der har denne afkortede og tilnærmede værdi på 2,7182818284590452353602.
Definitioner
Der er forskellige definitioner for tallet e, men den mest grundlæggende er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen altid er lig med y.
er det eneste tal, for hvilket det gælder, at eksponentialfunktionen opfylder relationen
Desuden er grundtallet for den naturlige logaritme, ofte skrevet i notationen ; altså opfylder følgende:
Af konstruktive definitioner kan blandt mange nævnes
Eulers identitet
Ligheden
er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Det er en Eulers identitet.
Notation
Eksponentialfunktionen skrives somme tider med funktionen exp:
Dette bruges især på computere, for eksempel i programmeringssprog og regneark, hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig.
Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |