Keplers love

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Keplers love er tre love, fremsat af den tyske astronom Johannes Kepler, baseret hovedsagelig på Tycho Brahes omfattende og nøjagtige observationer af planeten Mars. Lovene beskriver hvordan planeterne i Solsystemet bevæger sig i deres baner omkring Solen. De tre love lyder:

  1. Alle planeter følger baner med facon som en ellipse, med Solen i det ene af ellipsens to brændpunkter.
  2. Inden for lige lange tidsrum, vil linjen mellem Solens centrum og en planets centrum overstryge samme areal. En planet har dermed højest hastighed, hvor banen er tættest på Solen og mindst hastighed, hvor banen er længst fra Solen.
  3. Hvis en planet med omløbstiden følger en ellipseformet bane, hvis halve storakse er , vil omløbstiden i anden være proportional med storaksen i tredje. En planets omløbstid vokser således med planetens middelafstand fra Solen.

Beregninger[redigér | redigér wikikode]

Planetens bevægelse i tid.

Overstrøgne areal zxS:[redigér | redigér wikikode]

Da arealerne blot skal sammenlignes, er det ligeså rigtigt – og betydeligt nemmere – at beregne dem for en cirkel med radius R = 1. Linjestykket cz = cx = 1.

Hvor E er cirklens centervinkel mellem perihelium z og planetens aktuelle projekterede placering x angivet i radianer, og e er ellipsens excentricitet = linjestykket cS divideret med linjestykket cz.

Hvis den anomalistiske omløbstid T er kendt, er det således enkelt at beregne tiden t for bevægelsen fra z til P:

Hvor A angiver hele cirklens areal: π.

Da arealet czy, med centervinklen M, har præcis samme areal, kan man udlede:

Dette ville have været forholdet ved en jævn bevægelse, kaldet for middelanomalien.

For Jordens gang omkring solen gælder:

Hvor d er antal døgn siden 1. januar 2000 klokken 00:00 dansk normaltid; og % betyder modulus.

Solvinklen[redigér | redigér wikikode]

Da det er mere relevant et kende vinkelomdrejningen om Solen θ end omkring ellipsens centrum, skal der omregnes et forhold mellem disse:

Hvor r angiver ellipsens lilleradius, som findes således:

Iteration[redigér | redigér wikikode]

Oftest ønsker man at beregne vinklen på et kendt tidspunkt, altså skal man finde E i den første ligning, og det lader ikke beregne. Bedst er da at lade et edb-program iterere sig frem til resultatet.

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Keplers love kan udledes vha. den klassiske mekanik. Ifølge Newtonsk gravitation er kraften øvet på en planet givet ved:

hvor er den universelle gravitationskonstant, er Solens masse, er planetens masse, er afstanden mellem Solen og planeten, mens er en enhedsvektor, der peger i retningen fra sol til planet.

Newtons anden lov siger:

hvor er planetens positionsvektor med udgangspunkt i Solen, og er accelerationen.

Impulsmomentet er givet ved:

Ændringen i impulsmoment er givet ved:

Da kraften er parallel med positionsvektoren, er ændringen nul, og dermed er impulsmomentet konstant.

Det antages desuden, at Solen er stillestående, da dens masse er meget større end planetens.[1]

Keplers første lov[redigér | redigér wikikode]

For at udlede Keplers første lov skal det vises, at planetens bane er en ellipse, der med polære koordinater omkring Solen er givet ved:

hvor og er konstanter.

Ved at indsætte tyngdeloven i Newtons anden lov fås bevægelsesligningen for en planet:

 

 

 

 

(1)

Denne differentialligning skal nu løses. Først skal den omskrives til polære koordinater. Hvis kredsløbet placeres i -planet, og positionsvektoren har en vinkel , kan vektoren skrives som:

Hastigheden er derfor:

Accelerationen er for -retningen:

Og for -retningen:

Jf. lign. 1 er accelerationen også parallel med positionsvektoren:

Dvs.:

Dette er dog også lig med:

Dermed bliver bevægelsesligningen:

 

 

 

 

(2)

Da impulsmomentet er konstant, kan lign. 2 skrives:

 

 

 

 

(3)

For at løse lign. 3 kan en substitution laves:

Dermed:

Dette kan omskrives til den afledte med hensyn til vinklen:

Jf. bevarelse af impulmomentet:

Tilsvarende for den anden afledte:

Lign. 3 bliver således:

 

 

 

 

(4)

Hvis ikke er lig med nul, eller uendeligt , er ligningen:

Dette er en inhomogen differentialligning af anden orden. Den homogene version kan løses ved at gætte :

Den fulde homogene løsning er altså:

hvilket er det samme som:

En konstant tilføjes for at få en løsning til den inhomogene ligning:

Hvis minimum- eller maksimumafstanden skal være i vinklen nul, skal det gælde, at:

Dvs.

Og derved:

hvor

Dermed er Keplers første lov blevet udledt. For en arbitrær orientering kan en konstant trækkes fra argumentet i cosinus-funktionen:[1]

 

 

 

 

(5)

Det følger, at storaksen er halvdelen af minimum-radius plus maksimum-radius og derfor:

For halvdelen af lilleaksen i en ellipse gælder:

og derfor

Keplers anden lov[redigér | redigér wikikode]

En anden måde at udtrykke Keplers anden lov på er, at det overstrøgne areal per tid er konstant. Dvs.

hvor er en konstant. For en infinitesimal vinkel , er det overstrøgne areal givet ved:

Dermed:

Dette kan omskrives vha. impulsmomentet:

 

 

 

 

(6)

Da impulsmomentet er konstant, er Keplers anden lov blevet udledt. Loven er således ækvivalent til bevarelse af impulsmomentet.[1]

Keplers tredje lov[redigér | redigér wikikode]

Af lign. 6 følger:

For en fuld omgang er venstre side lig med arealet af elipsen, mens integralet på højresiden er lig med perioden:

eller kvadreret

Af udtrykket for ses:

Dette, samt udtrykket for , insættes:

Dermed er relationen mellem den halve storakse og perioden:

 

 

 

 

(7)

Keplers tredje lov er hermed blevet udledt.[1]

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c d Kumar, Anant; Chakravarti, Mohnish; Mahajan, Nihar; et. al, "Deriving Kepler's Laws", Brilliant, hentet 29. juni 2019.