Keplers love

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
En planets bane jf. Keplers 1. lov. Planetens omløbsbane er elliptisk, og Solen sidder i det ene af to brændpunkter.

Keplers love er tre love, fremsat af den tyske astronom Johannes Kepler, baseret hovedsagelig på Tycho Brahes omfattende og nøjagtige observationer af planeterne i Solsystemet. Lovene beskriver, hvordan planeterne bevæger sig i deres baner omkring Solen. De tre love lyder:[1]

  1. Alle planeter følger baner med facon som en ellipse, med Solen i det ene af ellipsens to brændpunkter.
  2. Inden for lige lange tidsrum vil linjen mellem Solens centrum og en planets centrum overstryge samme areal. En planet har dermed højest hastighed, når den er tættest på Solen og mindst hastighed, når den er længst fra Solen.
  3. Hvis en planet med omløbstiden følger en ellipseformet bane, hvis halve storakse er , vil omløbstiden i anden være proportional med storaksen i tredje. En planets omløbstid vokser således med planetens middelafstand fra Solen.

Selvom lovene oprindeligt blev formuleret for Solsystemet, har de vist sig at gælde for et hvilket som helst gravitationelt to-legeme-system, hvor relativistiske effekter kan ignoreres, og hvor det ene legeme har en meget større masse end det andet. Lovene kan udledes fra Newtons tyngdelov.

Lovene[redigér | redigér wikikode]

Keplers love er præsenteret i flere detaljer nedenfor.

Keplers første lov[redigér | redigér wikikode]

Ellipsen med polærekoordinater () med Solen i højre brændpunkt. I figuren er den halve storakse og den halve lilleakse, mens er semi latus rectum. Når bliver , og planeten er i perihelium. Det modsatte tilfælde med er planetens aphelium med .

Ifølge den første lov er en planets bane en ellipse, hvilket er en aflang cirkel. Historisk gjorde loven altså op med tanken om, at planeterne følger perfekte cirkler, som påstået i det kopernikanske system. Solen skulle heller ikke længere være i centrum af kredsløbet, men i stedet i et af de to såkaldte brændpunkter, som ligger i hver ende sin af ellipsen.

Matematisk kan den elliptiske bane beskrives med polære koordinater omkring Solen:

 

 

 

 

(1)

hvor og er konstanter, er excentriciteten, mens er afstanden til Solen, og er vinklen. [1]

Minimum- og maksimum-afstanden er da:

Storaksen er minimum-radius plus maksimum-radius, og den halve storakse er derfor:

For den halve lilleakse i en ellipse gælder:

og derfor:

Keplers anden lov[redigér | redigér wikikode]

Keplers anden lov siger, at de skraverede arealer skal være lige store, hvis de er tilbagelagt i løbet af samme tidsrum.

Den anden lov siger, at baneradien dækker lige store arealer i løbet af lige lange tidsrum. Loven er også kendt som loven om lige store arealer.

Hvis man antager, at en planet bruger fx en dag på at bevæge sig fra punkt A til B, vil linjerne fra solen til A og B som vist i figuren, udgøre en vinkelsektor. Keplers anden lov siger, at arealet af denne vinkelsektor vil være lige så stort som arealet af sektoren, som dannes mellem solen og C og D, hvis det også tager en dag for planeten at bevæge sig fra C til D.

Forklaringen er, at planeten får større fart, jo nærmere Solen den kommer. Dette skyldes, at Solens tiltrækningskraft accelererer planeten, mens denne nærmer sig Solen, og aftager mens den bevæger væk bort fra solen. Kepler kendte imidlertid ikke til denne fysiske forklaring af fænomenet, men kunne blot fastslå, at det var sådan, det forholdt sig og beskrev dette matematisk.

En måde at udtrykke Keplers anden lov på er, at det overstrøgne areal per tid er konstant. Dvs.

hvor er en konstant. For en infinitesimal vinkel , er det overstrøgne areal givet ved:[1]

Dermed:

 

 

 

 

(2)

Keplers tredje lov[redigér | redigér wikikode]

Et dobbeltlogaritmisk plot af den halve storakse og perioden for hver planet i Solsystemet. Det ses, at sammenhængen som forventet er lineær.

Den tredje lov beskriver forholdet mellem planetens afstand fra solen og omløbstiden. For eksempel: Antag, at planet A er fire gange længere væk fra Solen end planet B. Planet A skal således rejse fire gange så langt som planet B i hver bane. I alt tager planet A gange mere tid for at foretage en fuld bane rundt om Solen sammenlignet med planet B.

Den tredje lov blev også kendt som den harmoniske lov,[2] da den blev brugt af Kepler i et forsøg på at bestemme de nøjagtige regler for "kuglers musik" (sfærernes harmoni) og til at præsentere dem i et musikalsk sprog.[3]

Mere præcist formuleret er den halve storakse i tredje proportional med perioden i anden:[1]

 

 

 

 

(3)

Med dobbelte logaritmer er lign. 3:

Værdier for og i Solsystemet er plottet (se figuren).

Historie[redigér | redigér wikikode]

Johannes Kepler udgav de første to love i 1609 efter at have analyseret astronomiske observationer af Mars foretaget af Tycho Brahe.[4][5][6] Keplers tredje lov blev publiceret i 1619.[7][5] Kepler havde tidligere være tilhænger af det kopernikanske system for Solsystemet, hvor planeterne følger cirkulære baner, men han kunne ikke forene dette billede med Brahes meget præcise målinger af Mars' kredsløb. Efter Merkur er Mars sågar den planet med den højeste eccentricitet.[8]

Kepler (i 1621) og Godefroy Wendelin (i 1643) påpegede, at Keplers tredje lov også gælder for de galileiske måner omkring Jupiter.[Nb 1] Den anden lov blev kritiseret af Nicolaus Mercator i en bog fra 1664, men i Philosophical Transactions i 1670 var han blevet tilhænger. I løbet af 1600-tallet blev Keplers love generelt mere og mere accepterede.[9]

Newton viste senere, at alle tre love kom af hans tyngelov. Carl Runge og Wilhelm Lenz identificerede langt senere i faserummet for planetbevægelser en symmetri (den ortogonale gruppe O(4)), som også forklarede den første og tredje lov.[10]

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Keplers love kan udledes vha. den klassiske mekanik. Ifølge newtonsk gravitation er kraften øvet på en planet givet ved:

hvor er den universelle gravitationskonstant, er Solens masse, er planetens masse, er afstanden mellem Solen og planeten, mens er en enhedsvektor, der peger i retningen fra sol til planet.

Newtons anden lov siger:

hvor er planetens positionsvektor med udgangspunkt i Solen, og er accelerationen.

Pilene angiver, at der er tale om vektorer, som angiver både størrelse og retning.

Impulsmomentet er givet ved:

Ændringen i impulsmoment over tid er kraftmomentet :

Da kraften er parallel med positionsvektoren, er ændringen nul, og dermed er impulsmomentet konstant.

Det antages desuden, at Solen er stillestående, da dens masse er meget større end planetens.[1]

Keplers første lov[redigér | redigér wikikode]

For at udlede Keplers første lov skal det vises, at planetens bane er en ellipse jf. lign. 1.

Ved at indsætte tyngdeloven i Newtons anden lov fås bevægelsesligningen for en planet:

 

 

 

 

(4)

Denne differentialligning skal nu løses. Først skal den omskrives til polære koordinater. Hvis kredsløbet placeres i -planet, og positionsvektoren har en vinkel , kan vektoren skrives som:

Hastigheden er derfor:

Accelerationen er for -retningen:

Jf. Newtons tyngdelov bliver planeten påvirket af en centralkraft ind mod Solen.

Og for -retningen:

Jf. lign. 4 er accelerationen også parallel med positionsvektoren:

Dvs.:

Dette er dog også lig med:

Dermed bliver bevægelsesligningen:

 

 

 

 

(5)

Da impulsmomentet er konstant, kan lign. 5 skrives:

 

 

 

 

(6)

eller

Det ses, at tyndekraften giver anledning til en negativt acceleration - mod Solen - som forventet. Rotationen bidrager dog med et positivt led, hvilket vil sige, at den skubber planeten væk fra Solen. Det er disse to modstriden termer, der gør det muligt for planeterne at blive fastholdt i elliptiske baner.

For at løse lign. 6 kan en substitution laves:

Dermed:

Dette kan omskrives til den afledte med hensyn til vinklen:

Jf. bevarelse af impulmomentet:

Tilsvarende for den anden afledte:

Lign. 6 bliver således:

Hvis ikke er lig med nul, eller uendeligt , er ligningen:

Dette er en inhomogen differentialligning af anden orden. Den homogene version kan løses ved at gætte :

Den fulde homogene løsning er altså:

hvilket er det samme som:

En konstant tilføjes for at få en løsning til den inhomogene ligning:

Hvis minimum- eller maksimumafstanden skal være i vinklen nul, skal det gælde, at:

Dvs.

Og derved:

hvor

Dermed er Keplers første lov blevet udledt. For en arbitrær orientering kan en konstant trækkes fra argumentet i cosinus-funktionen:[1]

Hvilket er lign. 1. Det følger, at storaksen er minimum-radius plus maksimum-radius, og den halve storakse er derfor:

For halvdelen af lilleaksen i en ellipse gælder:

og derfor

Keplers anden lov[redigér | redigér wikikode]

Lov 2
skøjte
Venstre: Illustration af Keplers anden lov. Pga. bevarelse af impulsmomentet bevæger en planet sig hurtigere, når den er tættere på Solen. Arealerne A og B, der er lige store, tager derfor samme tid at overstryge.

Højre: Det er samme princip, når en skøjteløber trækker armene til sig for at snurre hurtigere rundt.

For at vise Keplers anden lov kan lign. 2 skrives vha. impulsmomentet:

 

 

 

 

(7)

Da impulsmomentet er konstant, er Keplers anden lov blevet udledt. Loven er således ækvivalent med bevarelse af impulsmomentet.[1]

Keplers tredje lov[redigér | redigér wikikode]

Af lign. 7 følger:

For en fuld omgang er venstre side lig med arealet af elipsen, mens integralet på højresiden er lig med perioden:

eller kvadreret

Af udtrykket for ses:

Dette, samt udtrykket for , insættes:

Dermed er relationen mellem den halve storakse og perioden:

 

 

 

 

(8)

Keplers tredje lov er hermed blevet udledt.[1]

Det ses, at proportionalitetskonstanten kun afhænger af og . Hvis er kendt, kan Keplers lov altså bruges til at måle Solens masse.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Fodnoter[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Godefroy Wendelin wrote a letter to Giovanni Battista Riccioli about the relationship between the distances of the Jovian moons from Jupiter and the periods of their orbits, showing that the periods and distances conformed to Kepler's third law. See: Joanne Baptista Riccioli, Almagestum novum … (Bologna (Bononia), (Italy): Victor Benati, 1651), volume 1, page 492 Scholia III. In the margin beside the relevant paragraph is printed: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & intervalla satellitum Jovis. (Wendelin's clever speculation about the movement and distances of Jupiter's satellites.)
    In 1621, Johannes Kepler had noted that Jupiter's moons obey (approximately) his third law in his Epitome Astronomiae Copernicanae [Epitome of Copernican Astronomy] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), book 4, part 2, page 554.

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c d e f g h Kumar, Anant; Chakravarti, Mohnish; Mahajan, Nihar; et al., "Deriving Kepler's Laws", Brilliant, hentet 29. juni 2019. 
  2. ^ Holton, Gerald James; G. Brush, Stephen (2001), Physics, the Human Adventure, Rutgers University Press, s. 45, ISBN 0813529085. 
  3. ^ Burtt, Edwin, The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science, s. 52. 
  4. ^ I værket Astronomia nova viser Kepler kun, at Mars' kredsløb er elliptisk. Evidens for at de øvrige planetbaner også er elliptiske blev først offentliggjort i 1621.
    See: Johannes Kepler, Astronomia nova … (1609), p. 285. After having rejected circular and oval orbits, Kepler concluded that Mars' orbit must be elliptical. From the top of page 285: "Ergo ellipsis est Planetæ iter; … " (Thus, an ellipse is the planet's [i.e., Mars'] path; … ) Later on the same page: " … ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demonstrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam; … " ( … as will be revealed in the next chapter: where it will also then be proved that any figure of the planet's orbit must be relinquished, except a perfect ellipse; … ) And then: "Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis, … , fiat perfecta ellipsis: … " (Chapter 59. Proof that Mars' orbit, … , is a perfect ellipse: … ) The geometric proof that Mars' orbit is an ellipse appears as Protheorema XI on pages 289–290.
    Kepler stated that every planet travels in elliptical orbits having the Sun at one focus in: Johannes Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [Summary of Copernican Astronomy] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), book 5, part 1, III. De Figura Orbitæ (III. On the figure [i.e., shape] of orbits), pages 658–665. From p. 658: "Ellipsin fieri orbitam planetæ … " (Of an ellipse is made a planet's orbit … ). From p. 659: " … Sole (Foco altero huius ellipsis) … " ( … the Sun (the other focus of this ellipse) … ).
  5. ^ a b Holton, Gerald James; Brush, Stephen G. (2001). Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond (3rd paperback udgave). Piscataway, NJ: Rutgers University Press. s. 40–41. ISBN 978-0-8135-2908-0. Hentet 27. december 2009. 
  6. ^ In his Astronomia nova ... (1609), Kepler did not present his second law in its modern form. He did that only in his Epitome of 1621. Furthermore, in 1609, he presented his second law in two different forms, which scholars call the "distance law" and the "area law".
    • His "distance law" is presented in: "Caput XXXII. Virtutem quam Planetam movet in circulum attenuari cum discessu a fonte." (Chapter 32. The force that moves a planet circularly weakens with distance from the source.) See: Johannes Kepler, Astronomia nova … (1609), pp. 165–167. On page 167, Kepler states: " … , quanto longior est αδ quam αε, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcui excentrici apud δ, quam in æquali arcu excentrici apud ε." ( … , as αδ is longer than αε, so much longer will a planet remain on a certain arc of the eccentric near δ than on an equal arc of the eccentric near ε.) That is, the farther a planet is from the Sun (at the point α), the slower it moves along its orbit, so a radius from the Sun to a planet passes through equal areas in equal times. However, as Kepler presented it, his argument is accurate only for circles, not ellipses.
    • His "area law" is presented in: "Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis, … , fiat perfecta ellipsis: … " (Chapter 59. Proof that Mars' orbit, … , is a perfect ellipse: … ), Protheorema XIV and XV, pp. 291–295. On the top p. 294, it reads: "Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari in LK, ut sit AM." (The arc of the ellipse, of which the duration is delimited [i.e., measured] by the area AKM, should be terminated in LK, so that it [i.e., the arc] is AM.) In other words, the time that Mars requires to move along an arc AM of its elliptical orbit is measured by the area of the segment AMN of the ellipse (where N is the position of the Sun), which in turn is proportional to the section AKN of the circle that encircles the ellipse and that is tangent to it. Therefore, the area that is swept out by a radius from the Sun to Mars as Mars moves along an arc of its elliptical orbit is proportional to the time that Mars requires to move along that arc. Thus, a radius from the Sun to Mars sweeps out equal areas in equal times.
    In 1621, Kepler restated his second law for any planet: Johannes Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [Summary of Copernican Astronomy] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), book 5, page 668. From page 668: "Dictum quidem est in superioribus, divisa orbita in particulas minutissimas æquales: accrescete iis moras planetæ per eas, in proportione intervallorum inter eas & Solem." (It has been said above that, if the orbit of the planet is divided into the smallest equal parts, the times of the planet in them increase in the ratio of the distances between them and the sun.) That is, a planet's speed along its orbit is inversely proportional to its distance from the Sun. (The remainder of the paragraph makes clear that Kepler was referring to what is now called angular velocity.)
  7. ^ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189. From the bottom of p. 189: "Sed res est certissima exactissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera proportionis mediarum distantiarum, … " (But it is absolutely certain and exact that the proportion between the periodic times of any two planets is precisely the sesquialternate proportion [i.e., the ratio of 3:2] of their mean distances, … ")
    An English translation of Kepler's Harmonices Mundi is available as: Johannes Kepler with E.J. Aiton, A.M. Duncan, and J.V. Field, trans., The Harmony of the World (Philadelphia, Pennsylvania: American Philosophical Society, 1997); see especially p. 411.
  8. ^ National Earth Science Teachers Association (9. oktober 2008). "Data Table for Planets and Dwarf Planets". Windows to the Universe. Hentet 2. august 2018. 
  9. ^ Wilbur Applebaum (2000). Encyclopedia of the Scientific Revolution: From Copernicus to Newton. Routledge. s. 603. Bibcode:2000esrc.book.....A. ISBN 978-1-135-58255-5. 
  10. ^ Victor Guillemin; Shlomo Sternberg (2006). Variations on a Theme by Kepler. American Mathematical Soc. s. 5. ISBN 978-0-8218-4184-6.