Matematik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
(Omdirigeret fra Matematisk)
Spring til navigation Spring til søgning
Matematiklærer ved tavlen.

Opgave i algebra
Spørgsmål: Hvis B er fire år ældre end A, og de tilsammen er tolv år, hvor gamle er så A og B?

Svaret findes ved at opstille to ligninger med to ubekendte, nemlig A’s alder x og B’s alder y:
Ligning 1
Ligning 2

Ligning 2 kan omskrives til:

Nu kan højre side af de to ligninger sættes lig hinanden:

som kan omskrives til:

eller:

og ved indsættelse i Ligning 1:

Mandelbrotmængden er et eksempel på en fraktal.

Eksempel på matematisk struktur
En gruppe er en mængde, fx de hele tal, som er udstyret med en regneregel og som for vilkårlige elementer a, b og c opfylder disse tre aksiomer:
1. Regnereglen er associativ, dvs
2. Der findes et neutralt element e, således at
3. Der findes et inverst element a', således at

Hvis vi kombinerer mængden af hele tal og regnereglen addition, får vi en gruppe (Z,+):
1.
2. (e er tallet 0)
3. (a' har modsat fortegn af a)

Får vi også en gruppe (Z, ), hvis vi kombinerer mængden af hele tal med regnereglen multiplikation?
1.
2. (e er tallet 1)
3. (a' er den reciprokke af a)

Nej, i regel 3 går det galt: den reciprokke værdi af et heltal er kun et heltal for tallet 1, så (Z, ) er ikke en gruppe.[1]

Matematik (fra oldgræsk μάθημα, máthēma: det jeg lærte, at lære[2]; μαθηματικός mathēmatikós: glad for at lære[2]) er en videnskab som studerer sådanne emner som mængde (tal og aritmetik),[3] struktur (algebra),[4] rum (geometri)[3] og ændring (matematisk analyse).[5][6][7] Der findes ikke nogen generelt accepteret definition for matematisk videnskab.[8][9]

Matematikere opsøger og anvender mønstre[10][11] til at formulere nye formodninger; de afgør om formodningerne er falske eller sande ved hjælp af matematiske beviser. Når matematiske strukturer viser sig at være gode modeller af virkelige fænomener, kan matematisk tænkning bruges til bedre at beskrive eller forudsige naturen.

Mennesker har praktiseret matematik lige så langt tilbage i historien som man har skriftlige optegnelser. Gennem brug af abstraktion og logik udviklede matematik sig fra grundlæggende optælling, udregning og opmåling, samt gennem studier af former og bevægelser for fysiske genstande. Det var græske matematikere, som var de første til at bruge strengt logisk tænkning, mest berømt i Euklids Elementer.[12] Frem til Renæssancen udviklede det matematiske fag sig kun langsomt, men de mange nye videnskabelige opdagelser gav på den tid næring til en mængde matematiske studier og ny indsigt, en tendens der er fortsat helt til i dag.[13] I nyere tid har man på baggrund af banebrydende arbejder inden for grundlæggende matematik, af fx Giuseppe Peano (1858–1932) og David Hilbert (1862–1943), fået den faglige tilgang, at sandhed afdækkes gennem strengt logisk deduktion ud fra passende aksiomer og definitioner.

Matematik anvendes inden for mange fag, fx naturvidenskab, ingeniørvidenskab, lægevidenskab, økonomi og og socialvidenskab. Inden for anvendt matematik har underdiscipliner som statistik og spilteori vokset sig store. Matematikere arbejder gerne inden for ren matematik (matematik for matematikkens skyld, dvs uden praktisk anvendelse for øje), men forskningsresultater inden for ren matematik har ofte senere fået praktisk anvendelse.[14][15]

Definition[redigér | redigér wikikode]

Matematik er et fag, der har eksisteret i 5.000 år, det har ry for at være tørt og kedeligt, svært og utilgængeligt, abstrakt, virkeligheds- og menneskefjernt, ja nogle vil måske endda mene menneskefjendsk.

– matematiker Tinne Hoff Kjeldsen[16]

Matematikere er en slags franskmænd: snakker du med dem, oversætter de til deres eget sprog, og så er det straks noget helt andet.

Matematikken er en deduktiv og abstrakt videnskab, som bygger på logiske metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik, læren om sandt og falsk, som er det fælles udgangspunkt.[kilde mangler] De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egne regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.[kilde mangler]

Der findes dog ikke nogen alment accepteret definition på, hvad matematik er.[8][9] Aristoteles definerede faget som "videnskaben om størrelser", og denne definition var fremherskende frem til 1700-tallet.[18] Men da den matematiske forskning i løbet af 1800-tallet i stigende grad blev præget af logisk strenghed og desuden begyndte at opdyrke nye felter som gruppeteori og projektiv geometri, som ikke primært handler om målelige størrelser, begyndte der blandt matematikere og filosoffer at dukke en række nye definitioner op.[19] I dag arbejder man inden for matematisk filosofi med tre overordnede måder at definere faget på, nemlig en logicistisk, som anser matematik for at høre under logikken, en intuitionistisk, som lægger vægt på de tankerækker og tankebaner, som matematikere følger i deres arbejde med at opnå ny indsigt, samt en formalistisk, hvor det væsentlige er hvordan man håndterer matematiske symboler efter visse grundantagelser. Man er dog langtfra enige om, hvilken af disse overordnede måder giver den bedste forståelse af matematikkens natur.[20]

Ganske mange matematikere er ligeglade med, hvordan matematik skal defineres, eller mener at det er umuligt at gøre.[8] Der er heller ikke enighed om, hvorvidt matematik er videnskab eller kunst.[9] Nogle bruger den simple definition, at "matematik er det som matematikere laver".[8]

Historie[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Matematikkens historie

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af algebra, rum og ændring.

En vigtig del af grundlaget for den matematiske videnskab blev lagt i antikkens Grækenland, hvor især Euklids lærebog Elementerne fra omkring år 300 f.Kr. skulle vise sig at få kolossal betydning for matematikundervisningen helt frem til engang i 1900-tallet.[21] Bogen er en samling af grundlæggende definitioner, samt udledninger af matematiske objekter og begreber baseret på disse definitioner, udledninger baseret udelukkende på logisk-deduktiv bevisførelse. Herved sikres, at hvis udgangspunktet for en udledning er sand, så bliver resultatet det også. Matematik kom herved til at fremstå som en videnskab som fremlagde absolutte sandheder.[22]

I antikkens Grækenland anså man matematikken for at omhandle og beskrive virkeligheden, og denne forestilling holdt sig til langt op i 1800-tallet. Men nye matematiske opdagelser, bl.a. Cantors arbejde inden for mængdelære med uendelige mængder og Gauss' erkendelse af, at Euklids bevis for det såkaldte parallelpostulat var problematisk, førte til nye måder at anskue matematikken på. Cantors arbejde med uendelige mængder viste sig at medføre en logisk modstrid, som gjorde det nødvendigt at omdefinere aksiom-begrebet, så det fra at udtrykke en absolut sandhed om virkeligheden i stedet blot skulle være fri for modsigelser og ikke længere nødvendigvis beskrive virkeligheden.[23] Gauss' arbejde med geometri førte til udvikling af den ikke-euklidiske geometri, hvor man fx godt kan have flere parallelle linjer gående gennem samme punkt og hvor vinkelsummen i en trekant ikke altid er 180 grader,[24] geometriske egenskaber som senere viste sig anvendelige i Einsteins relativitetsteori.[25]

Udspring, anvendelighed og skønhed[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikler: Anvendt matematik og Matematisk skønhed
Kurveintegraler kan fx bruges til at beregne sværhedsgraden af ruten for et cykelløb.

Matematik er i tidens løb udsprunget af en række forskellige praktiske problemer, såsom handel, landmåling, arkitektur og astronomi. I dag kan alle videnskaber fremvise problemstillinger, som kan løses ved hjælp af matematik, og den matematiske videnskab skaber også selv løbende nye sådanne problemstillinger. Det var f.eks. ved at kombinere fysisk forståelse med matematisk logik at fysikeren Richard Feynman indførte brugen af kurveintegraler inden for kvantemekanik. Strengteorien, som forsøger at give en samlet beskrivelse af universets opbygning vha de fire fundamentale naturkræfter, er på lignende vis en stadig inspirationskilde til ny matematisk indsigt.[26]

Noget matematik har kun relevans inden for de områder, hvor den er udviklet, og her kan den bruges til at opnå større indsigt. Men ofte har matematisk indsigt udviklet inden for ét område vist sig anvendelig inden for andre områder. Man skelner her ofte mellem ren matematik og anvendt matematik, men erkendelser inden for den rene matematik viser sig ofte senere at kunne anvendes i praksis, som fx talteori inden for kryptografi.

Den kendsgerning at selv den 'reneste' matematik ofte har praktiske anvendelsesmuligheder har Eugene Wigner kaldt "matematikkens urimelige effektivitet".[15] Som på andre områder har den megen ny videnskabelige indsigt den senere tid ført til en specialisering, så at matematik i dag kan opdeles i flere hundrede underdiscipliner.[27] Inspireret af områder uden for matematikken har mange discipliner inden for anvendt matematik udviklet sig til selvstændige discipliner, såsom sandsynlighedsregning, statistik, operationsanalyse og datalogi.

Euklids bevis for, der er uendeligt mange primtal
- oprindeligt publiceret i hans værk Elementer:[28][29]

Betragt en liste med et vilkårligt, men endeligt antal primtal p1p2, ..., pn. Hvis P er produktet af alle primtal på listen: P = p1p2...pn, og det antages at q = P + 1, så er q enten et primtal eller ej:

  • Hvis q er et primtal, findes der mindst ét primtal, som ikke er på listen.
  • Hvis q ikke er et primtal, må der findes en primtalsfaktor p som går op i q. Stod denne faktor p på vores liste, ville den gå op i P (idet P er produktet af alle tal i listen); men p går som sagt også op i P + 1 = q. Hvis p både går op i P og q, så må p også gå op i forskellen mellem de to,[30] som er (P + 1) − P eller 1. Da intet primtal går op i 1, står p ikke på listen. Dermed må der findes yderligere mindst ét primtal.

Hermed er bevist, at der for enhver liste med endeligt mange primtal findes endnu et primtal.

For mange matematisk interesserede er der et aspekt af skønhed knyttet til matematik, og man beskriver faget med udtryk som elegance, æstetik og indre skønhed, foruden enkelhed og almengyldighed. Man finder skønhed i et enkelt og elegant bevis, som fx Euklis bevis for, at der er uendelig mange primtal, eller en snild metode til at øge hastigheden af udregninger, som fx Fast Fourier Transform. Matematikeren G. H. Hardy har udtrykt, at dette aspekt af skønhed i sig selv er nok til at retfærdiggøre studiet af ren matematik, en skønhed der bl.a. kan beskrives med ord som betydning, uforudsethed, uundgåelighed og økonomi.[31]

Matematisk forskning søger ofte at afdække afgørende træk ved et matematisk objekt. Det videnskabelige trofæ man stræber efter er at kunne formulere en sætning, der karakteriserer objektet ud fra disse træk. Eksempler på særligt kortfattede og åbenbarende matematiske bevisførelser er samlet i bogen Proofs from THE BOOK.[32]

Den popularitet, som underholdningsmatematik nyder, er et tegn på, at mange ynder at sysle for sjov med matematiske opgaver. Omvendt støder filosoffer stadig på problemer inden for matematikkens filosofi, fx vedrørende det matematiske bevis' væsen.[33]

Notation, sprog og strenghed[redigér | redigér wikikode]

Leonhard Euler var ophavsmand til en stor del af vor tids matematiske notation.

Mange af de symboler og tegn, som bruges i matematisk notation, blev først taget i brug i løbet af 1500-tallet, fx lighedstegnet og større end- og mindre end-tegnene.[a][34] Tidligere var matematisk tænkning blevet skrevet ud i tekst, hvilket faktisk begrænsede mulighederne for nye videnskabelige landvindinger.[35] Det var Euler, som indførte megen af den moderne matematiske notation, en notation som letter den matematiske forståelse for den professionelle. Derimod afskrækkes begyndere inden for faget ofte af notationen, fordi matematisk argumentation både er mere abstrakt og mere kryptisk end sædvanlig sprogbrug,[36] hvor det er nemmere at forstå sammenhængen mellem et ord (fx ko) og den fysiske genstand (her et pattedyr af drøvtyggerfamilien), ordet refererer til. I modsætning hertil er matematiske symboler og begreber abstrakte, uden sidestykker i den fysiske verden,[37] og desuden ofte med udvidede betydninger, hvor et enkelt symbol kan repræsentere flere forskellige handlinger eller begreber.[38]

Eksempel på matematisk fejlslutning
I Holbergs komedie Erasmus Montanus forsøger hovedpersonen, hjemvendt til sin barndoms landsby fra studier i København, at imponere sin mor med denne logiske argumentation:[39]

1. En sten kan ikke flyve
2. Morlille kan ikke flyve
3. Altså er Morlille en sten

Erasmus forsøger at anvende den klassiske modus ponens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke flyve)
2. p er sand (Morlille er en sten)
3. Altså er q sand (altså kan Morlille ikke flyve),

men han får byttet om på punkt 2 og 3. For at berolige sin nu opskræmte mor fortsætter Erasmus:
1. En sten kan ikke tale.
2. Morlille kan tale.
3. Altså er Morlille ingen sten.

Dennegang anvender Erasmus modus tollens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke tale)
2. q er falsk (Morlille kan godt tale)
3. Altså er p falsk (altså er Morlille ingen sten),

med bedre resultat.


Også når man ser bort fra notationen med symboler og tegn kan matematikeres sprog være svært at forstå for begyndere. Almindelige ord som eller og kun har en mere præcis betydning end i dagligsprog, mens andre ord som åben, legeme og gruppe refererer til bestemte matematiske forestillinger, som ikke har med ordenes sædvanlige betydning at gøre. Matematikere bruger også fremmedord som homomorfi og integrabel, som ikke giver mening uden for matematikken. Grunden til, matematikere bruger en særlig notation og et særligt sprog er ønsket om at kunne udtrykke sig med større præcision end hvad dagligsprog tillader. Man taler om matematisk strenghed.[kilde mangler]

Matematisk bevisførelse er dybest set et spørgsmål om logisk strenghed. Bevisførelsen resulterer i sætninger, som er udledt fra aksiomer ved hjælp af systematisk logik. Herved undgår man falske sætninger udledt ud fra fejlslutninger, som der har været mange eksempler på, se tekstboks. Graden af nødvendig strenghed har vekslet gennem matematikkens historie: de gamle grækere forlangte detaljeret bevisførelse, men på Isaac Newtons tid var man begyndt at tage lidt lettere på tingene. Dette medførte efterhånden visse uhensigtsmæssigheder, så at man i 1800-tallet igen vendte sig mod detaljeret logisk analyse og formel bevisførelse. I dag diskuterer matematikere, hvorvidt og hvordan man kan bruge computere til at udlede sætninger: da omfattende og indviklede beregninger er svære at efterprøve, kan beviset for sådanne sætninger være fejlbehæftet, hvis computerens software er fejlbehæftet.[b][40] Der er dog udviklet hjælpeprogrammer (eng: proof assistants), som kan foretage en fuldstændig gennemgang og afprøvning af alle trinene i lange, indviklede beviser, som fx Feit-Thomsons sætning, hvis bevis på tryk fylder mere end 1.000 sider.

Algebra[redigér | redigér wikikode]

Studiet af algebra starter med tallene, i begyndelsen de velkendte naturlige tal og heltallene. De regler, der gælder for aritmetiske operationer, er optegnet i elementær algebra, og de dybere egenskaber ved heltallene studeres i talteorien. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige begreb vektorer, der er generaliseret til vektorrummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene algebra og rum.

Geometri[redigér | redigér wikikode]

Studiet af rummet starter med studiet af geometri, først den euklidiske geometri og trigonometri i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til ikke-euklidisk geometri som spiller en central rolle i den generelle relativitetsteori. De moderne områder differentialgeometri og algebraisk geometri generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne koordinatsystemer, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. Gruppeteori undersøger på en abstrakt måde begrebet symmetri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. Topologi giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet kontinuitet.

Infinitesimalregning[redigér | redigér wikikode]

At forstå og beskrive ændringer i målelige størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og infinitesimalregningen er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale begreb, man bruger til at beskrive en variabel, der ændrer sig, er en funktion. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet differentialligninger. Tallene, man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder, er de reelle tal, og det detaljerede studium af deres egenskaber er kendt som reel analyse. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til komplekse tal, som studeres i en kompleks analyse. Funktionalanalyse fokuserer på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet kvantemekanik.

Computernes indflydelse[redigér | redigér wikikode]

For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament udviklede man områderne mængdeteori, matematisk logik og modelteori.

Da computere i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne beregnelighed og informationsteori. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk datalogi.

Foruden ved numerisk analyse har computere også hjulpet til ved emner som kaosteori, som handler om at mange dynamiske systemer i naturen adlyder love, der gør, at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien. Kaosteori er tæt forbundet med fraktal geometri.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Nedenstående gruppering af emner repræsenterer én måde[bør uddybes][kilde mangler] at organisere matematikkens grene på.

Mængde[redigér | redigér wikikode]

Naturlige tal Heltal Rationale tal Irrationale tal Komplekse tal
TalNaturlige talHeltalRationale talReelle talKomplekse talLegemerKvaternionerOktonionerSedenionerHyperreelle talSurreelle talOrdinaltalKardinaltalHeltalsfølgeMatematiske konstanterTalnavneUendelig

Ændring[redigér | redigér wikikode]

Integral as region under curve.png Vectorfield jaredwf.png
Aritmetik Infinitesimalregning Vektoranalyse Analyse
Limitcycle.svg LorenzAttractor.png
Differentialligninger Dynamiske systemer Kaosteori
InfinitesimalregningVektoranalyseMatematisk analyseDifferentialligningerDynamiske systemerKaosteoriFunktioner

Struktur[redigér | redigér wikikode]

Cayley graph of F2.svg Elliptic curve simple.png Group diagram d6.svg
Abstrakt algebra Talteori Gruppeteori
Torus.jpg MorphismComposition-01.png Lattice of the divisibility of 60.svg
Topologi Kategoriteori Ordenteori
Abstrakt algebraTalteoriAlgebraisk geometriGruppeteoriMatematisk analyseTopologiLineær algebraGrafteoriUniversel algebraKategoriteori

Rum[redigér | redigér wikikode]

Torus.jpg Pythagorean.svg Taylorsine.svg Osculating circle.svg Koch curve.svg
Topologi Geometri Trigonometri Differentialgeometri Fraktalgeometri
TopologiGeometriTrigonometriAlgebraisk geometriDifferentialgeometriDifferentiel topologiAlgebraisk topologiLineær algebra

Diskret matematik[redigér | redigér wikikode]



Venn A intersect B.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Kombinatorik Mængdeteori Beregnelighed Kryptologi Grafteori
KombinatorikMængdeteoriSandsynlighedsregningStatistikBeregnelighedDiskret matematikKryptologiGrafteoriSpilteori

Anvendt matematik[redigér | redigér wikikode]

MekanikNumerisk analyseOptimeringSandsynlighedStatistik

Diverse[redigér | redigér wikikode]

Eksempel på Juliamængden, en fraktal der bruger samme iterationsformel som Mandelbrotmængden.

Litteratur[redigér | redigér wikikode]

Når et skolebarn har lært at lægge naturlige tal sammen, dvs at addere dem, er det i stand til at forstå og ved afprøvning besvare spørgsmålet: ”Hvilket tal skal man lægge til 3 for at få 5?” Systematisk besvarelse af sådanne opgaver kræver dog, man indfører et nyt begreb: det at trække fra, eller subtraktion. Nu kan spørgsmålet stilles på denne måde: ”Hvad er 5 minus 3?” Straks man har defineret denne subtraktion, kan man også stille spørgsmålet: ”Hvad er 3 minus 5?” Nu føres man mod negative tal, og dermed ud over den grundlæggende regning.

– den tyske forfatter Heinz Duthel[41]

Udenlandsk[redigér | redigér wikikode]

  • Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
  • Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, http://www.math-atlas.org. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
  • Weisstein, Eric: World of Mathematics, http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
  • Planet Math, http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger GNU Free Documentation License, så det tillader importering til Wikipedia. Bruger TeX markup.
  • Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
  • Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
  • Gullberg, Jan: Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter (2009). Proofs from THE BOOK (4. udgave). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-00855-9. 

Dansk[redigér | redigér wikikode]

  • Aksel Bertelsen (2010). Når matematikken slår rødder. Systime. ISBN 978-87-616-2628-8. 
  • Torben Braüner (2006). Logikkens Muligheder og Grænser. Aktuel Naturvidenskab, 6.
  • Tinne Hoff Kjeldsen (2011). Hvad er matematik (1. udgave). Akademisk Forlag. ISBN 9788750041047. 
  • Henrik Kragh Sørensen (2017). Tal, Tænkepauser nr 47. Aarhus Universitet. ISBN 978-87-7124-502-8. 

Noter[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Kan huskes på, den store stikker til den lille, fx 7 > 5 og 5 < 7.
  2. ^ Her kræves normalt, sætningen skal være bevist ved to af hinanden uafhængige beregninger, med hver sin software.

Referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Kjeldsen (2011), s. 116-118
  2. ^ a b Liddell, H.G. & Scott, R. (1940). A Greek-English Lexicon. revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. with the assistance of. Roderick McKenzie. Oxford: Clarendon Press.
  3. ^ a b "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Arkiveret fra originalen November 16, 2019. Hentet June 16, 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. 
  4. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. s. 4. ISBN 978-0-486-41712-7. Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness. 
  5. ^ LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Biggers, Sherry S.; Carpenter, Laurel R.; Reed, Iris B.; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. s. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change. 
  6. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. s. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus. 
  7. ^ Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. s. vii. ISBN 978-3-642-19532-7. 
  8. ^ a b c d Mura, Roberta (Dec 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375-85. JSTOR 3482762. doi:10.1007/BF01273907. 
  9. ^ a b c Tobies, Renate & Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. s. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form. 
  10. ^ Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–16. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development Arkiveret October 28, 2010, hos Wayback Machine., www.ascd.org.
  11. ^ Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  12. ^ Wise, David. "Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion". jwilson.coe.uga.edu. Arkiveret fra originalen June 1, 2019. Hentet 2019-10-26. 
  13. ^ Eves, p. 306
  14. ^ Peterson, p. 12
  15. ^ a b Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1-14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Arkiveret fra originalen February 28, 2011. 
  16. ^ Kjeldsen (2011), s. 10
  17. ^ Lothar Schmidt !980): Aphorismen von A–Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen. Drei Lilien Verlag, Wiesbaden, s. 288–289
  18. ^ Franklin, James (2009-07-08). Philosophy of Mathematics. s. 104. ISBN 978-0-08-093058-9. Arkiveret fra originalen September 6, 2015. Hentet June 20, 2015. 
  19. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (1991 reprint). s. 285–86. ISBN 978-0-8218-2102-2. 
  20. ^ Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. 52 (4): 207-16. Bibcode:1975MathM..48...12G. JSTOR 2689412. doi:10.2307/2689412. 
  21. ^ Kjeldsen (2011), s. 34
  22. ^ Kjeldsen (2011), s. 39
  23. ^ Kjeldsen (2011), s. 43, 92
  24. ^ Kjeldsen (2011), s. 11, 58
  25. ^ Kjeldsen (2011), s. 68
  26. ^ Meinhard E. Mayer (2001). "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus". Physics Today. 54 (8): 48. Bibcode:2001PhT....54h..48J. doi:10.1063/1.1404851. 
  27. ^ "Mathematics Subject Classification 2010" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen May 14, 2011. Hentet November 9, 2010. 
  28. ^ James Williamson (translator and commentator), The Elements of Euclid, With Dissertations, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.
  29. ^ Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and its History, Dover, s. 65. 
  30. ^ Generelt gælder for vilkårlige heltal a, b og c, at hvis og , så .
  31. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. 
  32. ^ Aigner & Ziegler (2009).
  33. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  34. ^ "Earliest Uses of Various Mathematical Symbols". Arkiveret fra originalen February 20, 2016. Hentet September 14, 2014. 
  35. ^ Kline (1980), p. 140, om Diofant; p. 261, om François Viète.
  36. ^ Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."
  37. ^ Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live cow chewing its cud in a pasture and equate it with the letters c–o–w on the page. But you can't point to a real live plus sign that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more abstract."
  38. ^ Oakley 2014, p. 16: "By encryptedness, I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."
  39. ^ Kjeldsen (2011), s. 37-38
  40. ^ Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).
  41. ^ Heinz Duthel (2018): Discover Entdecke Découvrir Astronomie - Apokalypse Der Weg in die Geheimnisse des Anfangs und des Ende: Einleitung in astronomische Beobachtungen. Grundlagenwissen über Teleskope und dessen Bedienung. 648 sider, ISBN 9783742734655

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til:

Opgaver[redigér | redigér wikikode]

Ordbøger[redigér | redigér wikikode]

Generel[redigér | redigér wikikode]

Historie[redigér | redigér wikikode]